5ª B - COM OBJETIVO DE TRABALHAR MEDIDAS, ÁREAS E FORMAS GEOMÉTRICAS FOI PROPOSTO AOS ALUNOS A CONSTRUÇÃO DE UM ROBÔ. VAMOS AOS RESULTADOS:

5ª C - COM OBJETIVO DE TRABALHAR MEDIDAS, ÁREAS E FORMAS GEOMÉTRICAS FOI PROPOSTO AOS ALUNOS A CONSTRUÇÃO DE UM ROBÔ. VAMOS AOS RESULTADOS:

5ª D - COM OBJETIVO DE TRABALHAR MEDIDAS, ÁREAS E FORMAS GEOMÉTRICAS FOI PROPOSTO AOS ALUNOS A CONSTRUÇÃO DE UM ROBÔ. VAMOS AOS RESULTADOS:

Conteúdo p/ Ensino Médio 1º ano - Função Exponencial

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

São aquelas em que a incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência.

Exemplos de equações exponenciais:

10^x = 100

10^X = 10² 
x = 2 

=====================================

2^x + 12 = 20

2^x = 20 - 12

2^x = 8

2^x = 2³

x = 3

===================================

9^x = 81

9^x = 9²

x = 2

===================================

5^x+1 = 25

5^x.5¹ = 25
5^x = 25: 5

5^x = 5

x = 1

===================================

2^x = 256

2^x = 2⁸

X = 8

===================================

3^x+1 = 9

3^x.3 = 9

3^x = 9 : 3

3^x =  3

X = 1

===================================

4^x = 1024

(2²)^x = 2¹⁰

2^2x = 2¹⁰

2x = 10

X = 10 : 2

X = 5

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Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:

3^x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 3⁷)
3^x = 3⁷
x = 7

O valor de x na equação é 7.

Vamos resolver mais algumas equações exponenciais:

2^{x + 12} = 1024
2^{x + 12} = 2¹⁰
x + 12 = 10
x = 10 – 12
x = – 2
==================================

2 ^{4x + 1} * 8 ^{–x + 3} = 16 ^–1
2 ^{4x + 1} * 2 ^{3(–x + 3)} = 2 ^-4
2 ^{4x + 1} * 2 ^{–3x + 9} = 2^-4 
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = –1 – 4 – 9
x = – 14
=====================================
5 ^{x + 3 *} 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 125
5 ^{x + 3} * 5 ^{x + 2} * 5 ^x = 5 3
x + 3 + x + 2 + x = 3
3x = 3 – 5
3x = – 2
x = –2/3
====================================
2 ^{3x – 2} * 8 ^{x + 1} = 4 ^{x – 1}
2 ^{3x – 2} * 2 ^{3(x + 1)} = 2 ^{2(x – 1)}
3x – 2 + 3(x + 1) = 2(x – 1)
3x – 2 + 3x + 3 = 2x – 2
3x + 3x – 2x = – 2 + 2 – 3
4x = – 3
x = –3/4
====================================
2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 32
2 ^{2x + 1} * 2 ^{x + 4} = 2 ^{x + 2} * 2 ⁵
2x + 1 + x + 4 = x + 2 + 5
2x + x – x = 2 + 5 – 1 – 4
2x = 2
x = 1

===================================

5^x = 625 (fatorando 625 temos: 5⁴)
5^x = 5⁴
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.
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Acompanhe outro exemplo:

Vamos determinar a solução da equação 2^{x + 8} = 512.

Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 2⁹.
Então:
2^{x + 8} = 2⁹
x + 8 = 9
x = 9 – 8
x = 1
A solução da equação exponencial 2^{x + 8} = 512 é x = 1.

Exemplo 3

2^x = 128^1/5

Pela fatoração do número 128 temos 2 elevado a 7, então:
2^x = (2⁷)^1/5
x = 7 . 1/5
x = 7/5
Portanto, a solução da equação exponencial  é x = 7/5.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores do qual só conhecemos três. Devemos portanto determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1 - Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência;
2 - Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente porporcionais
3 - Montar a proporção e resolver a equação.

Vamos a um exemplo:

Uma placa de 1,2 metros quadrados consegue produzir 400 wats de energia. Se aumentar essa placa para 1,5 metros quadrados ela conseguirá produzir quantos wats de energia:
Montando a tabela

àrea (m)     Energia (wh)
1,2              400
1,5                 x

Primeiro verifico que se aumenta a área, aumenta também a quantidade de energia, portanto são grandezas diretamente proporcionais.
Portanto resolvo a proporção da seguinte forma: faço a multiplicação em cruz igualando os dois extremos:
1,2x = 1.5 x 400
1,2x = 600
x = 600 : 1,2
x = 500
Portanto a produção de energia para uma placa de 1,5 metros quadrados é de 500 wats

Agora um outro exemplo:

Um trem desloca-se a uma velocidade de 400 km por hora e faz um determinado percurso em 3 horas, se aumentarmos a velocidade para 480 km por hora em quanto tempo esse trem fará esse mesmo percurso.
Montamos a tabela

Velocidade (km/h)            Tempo (h)
400                                         3
480                                          x

Verificamos se a grandeza é diretamente proporcional ou inversamente proporcional
Se aumentarmos a velocidade do trem o tempo do percurso diminue, então se trata de grandeza inversamente proporcional.

Então montamos a tabela invertendo uma de suas colunas

Velocidade (km/h)            Tempo (h)
480                                         3
400                                          x

Então resolvemos a equação igualando os produtos em cruz
480x = 400 x 3
480x = 1200
x = 1200 : 480
x = 2,5 h

ou o percurso será realizado em 2 horas e 30 minutos

Conteúdo para 6ª série - Grandezas Diretamente e Inversamente Porporcionais

Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais

A variação de uma grandeza pode variar outra grandeza, por exemplo: se observarmos os quilômetros percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto (2º grandeza) por esse carro durante os quilômetros percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir também.
Podemos dizer que grandezas proporcionais são grandezas que a sua variação interfere na variação de outra.
As grandezas proporcionais podem ser:
Grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que:

São grandezas diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra. Isto é, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... E assim por diante.

Grandezas inversamente proporcionais, explicando de maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... E assim por diante.

Exemplos:

1) A tabela relaciona as grandezas ”medidas do lado” e “perímetro” de um quadrado. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

Medida do lado de um quadrado      Perímetro de um quadrado

   6m                                       24m

   9m                                       36m
                                                  
Como podemos ver, enquanto a grandeza “medida do lado de um quadrado” aumenta ao outra grandeza “perímetro de um quadrado” também aumenta. Logo esta é uma grandeza diretamente proporcional.

2) A tabela relaciona as grandezas “quantidade de operários” e “tempo” para a construção de duas obras iguais, A e B. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

Obra             Qtde de Operários         Tempo (em meses)

  A                         10                                3

  B                         30                                1

Como estamos vendo, enquanto a grandeza “quantidade de operários” aumenta, a grandeza “tempo” diminui. Logo esta é uma grandeza inversamente proporcional.

3) A velocidade constante de um carro e o tempo que esse carro gasta para dar uma volta completa em uma pista estão indicados na tabela a seguir:

Velocidade (km/h)                      Tempo (min)

       60                                            2

      120                                           1

De acordo com a tabela, essas duas grandezas, “velocidade” e “tempo”, são direta ou inversamente proporcionais?
Observando a tabela, percebemos que se trata de uma grandeza inversamente proporcional, pois, a medida que uma grandeza aumenta a outra diminui.

Exercícios:

1) Cinqüenta coelhos são alimentados durante quatro dias com certa quantidade de ração.
a) Se o número de coelhos for reduzido à metade, a quantidade de ração consumida deve aumentar ou diminuir?
b) O número de coelhos e a quantidade de ração consumida são grandezas inversamente proporcionais? Por quê?

2) Com um saco de ração alimento 12 galinhas durante 8 dias. Se aumentar o número de galinhas para 16, quantos dias vai durar um saco dessa ração?

3) Joaquim e Manuel trabalharam juntos em uma construção. Joaquim trabalhou durante 3 dias e Manuel durante 2 dias. O serviço todo rendeu para os dois juntos R$ 200,00.
a) Qual dos dois tem direito a ganhar mais? Por quê?
b) Se a divisão for justa, quanto deve ganhar cada um?
c) Escreva a razão entre os dias em que cada um trabalhou.
d) Escreva a razão entre a quantia que Joaquim recebeu e a que Manuel recebeu.
e) Essas razões formam uma proporção? Por quê?

4) Jaime e Juarez fizeram uma parceria para jogar na loteria. Jaime entrou com R$1,20 e Marcelo com R$1,80. Sabe o que aconteceu? Eles ganharam um prêmio de R$ 1500,00!
a) Qual dos dois deve receber a maior parte do prêmio? Por quê?
b) Calcule a parte justa que cada um deve receber desse prêmio.

 

Apresentação Professor Jonas

Meus Queridos Alunos das 5ªs e das 6ªs séries, agora temos mais uma ferramenta para fortalecer o nosso estudo e a nossa aprendizagem. Agora, só não aprende quem não quer...

O nosso blog de matemática vai ter explicações sobre os exercícios e os conteúdos trabalhados em sala, exercícios para você poder estudar mais e ficar fera !!!, algumas brincadeiras, e muito mais.

Só é preciso um pouco de paciência, pois nesse início estamos conhecendo e começando a usar o blog então poderá ocorrer alguns contratempos, espero que não...

Então, mãos a obra, para começar a estudar matemática e só clicar nas matérias relacionadas ao lado e clicar no assunto que precisa estudar, ou então nos assuntos que você ainda não conhece para você saber mais.

Bons Estudos..... (Lets´go)

Jonas Rodrigues Aragoni
Professor de Matemática - 5ªs séries B,C e D e 6ªs séries A